PythonSciPy科学计算项目教程_优化积分信号处理案例

scipy科学计算核心是优化、积分、信号处理三模块协同：用optimize拟合含积分约束模型，signal滤波降噪后integrate数值积分，signal与integrate联合做脉冲响应辨识。

python 中用 SciPy 做科学计算，核心在于把数学问题映射到合适的模块：优化用 scipy.optimize，积分用 scipy.integrate，信号处理用 scipy.signal。三者常组合使用——比如拟合带积分约束的模型、对含噪声信号先滤波再数值积分、或用优化反推信号参数。下面通过一个连贯案例串起这三类操作。

用 optimize 拟合含积分约束的衰减模型

假设某物理过程输出信号形式为 f(t) = A·exp(−t/τ) + B，但实验只能测得其在区间 [0, T] 上的积分值（如总能量），而非点测量。此时直接拟合 f(t) 不可行，需将积分结果作为目标函数的一部分。

• 先用 scipy.integrate.quad 计算理论积分：int_f = quad(Lambda t: A*np.exp(-t/tau) + B, 0, T)[0]
• 定义损失函数：实际积分值与模型积分值之差的平方
• 调用 scipy.optimize.minimize（推荐 ‘L-BFGS-B’ 或 ‘trust-constr’）求解 (A, τ, B)，并给 τ 加正约束

对实测信号做积分前的预处理

真实传感器数据常含高频噪声，直接数值积分会放大误差。应先滤波再积分：

• 用 scipy.signal.butter 设计低通巴特沃斯滤波器（如截止频率设为采样率的 1/5）
• 用 scipy.signal.filtfilt 零相位滤波，避免时延失真
• 对滤波后信号用 scipy.integrate.trapezoid（推荐）或 simplify 做离散积分；若时间非等距，传入 x=times 参数

用 signal + integrate 联合分析脉冲响应

系统辨识中，常通过输入脉冲激励和输出响应反推系统特性。例如已知输入 u(t) 是单位矩形脉冲，输出 y(t) 是实测曲线，想验证是否符合一阶惯性环节：

立即学习“Python免费学习笔记（深入）”；

• 构造理论脉冲响应 h(t) = (1/τ)·exp(−t/τ)，卷积 u(t) 得理论输出 y_th = convolve(u, h, method=’direct’)
• 用 scipy.integrate.cumulative_trapezoid 对 y_th 和 y 实际做累积积分，比对面积一致性
• 若差异大，可将 τ 作为变量，用 optimize.least_squares 最小化 y_th 与 y 的 L2 距离

关键细节提醒

这些操作容易出错的地方集中在边界与精度：

• quad 默认精度是 1.49e-8，若被积函数震荡剧烈，需调小 epsabs 或 epsrel
• trapezoid 对非均匀网格敏感，务必确认 time 数组严格单调递增
• signal.convolve 默认 ‘full’ 模式会延长输出长度，做模型匹配时注意截取有效段
• 优化时参数量纲差异大（如 A=1e3，τ=1e-6），务必用 options={'x_scale': [...]} 或标准化变量